Формула центральных прямоугольников

Формула центральных прямоугольников

Курсовая работа

По дисциплине«Информатика»

Разработка и анализ способов приближённых вычислений

определённого интеграла

средствами MS Excel

Выполнил: Смирнов А.В.

студент группы ЭТК 114-12 з Проверил: Кирсанова Н.В.

ст. педагог

г. Тверь, 2015

Приближенное вычисление определенного интеграла

I. Постановка задачки

В данной курсовой работе рассматривается задачка нахождения численного значения определенного интеграла и способы, которые позволяют приближенно вычислить интеграл с Формула центральных прямоугольников помощью конечного числа значений интегрируемой функции. Эти способы могут применяться там, где другие подходы к вычислению интегралов оказываются бессильными. Не считая того, применение этих способов в почти всех случаях просит наименьших издержек вычислительного труда, сравнимо с другими способами.

Цель данной работы – исследование простых численных способов интегрирования и Формула центральных прямоугольников сопоставление их точности.

Её содержанием является выполнение личного задания по одному из предложенных вариантов 2-мя разными способами и сопоставление их точности с внедрением правила Рунге. Приводится описание теоретических вопросов, ответы на которые следует дать при защите работы.

Курсовая работа выполнена средствами MSExcel.

II. Анализ способов вычисления определенного интеграла

Пусть требуется вычислить Формула центральных прямоугольников определенный интеграл от непрерывной функции ƒ(х)

Если можно отыскать первообразнуюF(x) функции ƒ(х), то интеграл рассчитывается по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции время от времени очень трудно; не считая того, как понятно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через простые функции. В этих и других случаях (к Формула центральных прямоугольников примеру, функция

у = ƒ(х) задана графически либо табличнo) прибегают к приближенным формулам, при помощи которых определенный интеграл находится с хоть какой степенью точности.

Разглядим три более употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Формула центральных прямоугольников

Пусть на отрезке Формула центральных прямоугольников [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интеграл численно равный площади соответственной криволинейнойтрапеции (рис.1).

Рис.1. Способ центральных прямоугольников.

Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей

(отрезков) длины (шаг разбиения) при помощи точек х0= а, x1, х2,..., хn = b. Можно записать Формула центральных прямоугольников, что хi= х0+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис.1).

Посреди каждого такового отрезка построим ординату ŷi =ƒ(сi) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷi.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное Формула центральных прямоугольников значение искомого определенного интеграла

(1)

Формула (1) именуется формулой центральных (средних) прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (1) оценивается при помощи формулы:

где М2 — наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (1) дает четкий итог, так как в данном случае ƒ"(х)=0.

(4)
(3)
(2)

(рис. 2а,2б).
(3)
(2)

Рис.2а. Способ левых Формула центральных прямоугольников Рис.2б. Способ правых

прямоугольников.прямоугольников.

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обыкновенной трапецией.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х0, x1,х2,...,b = хn (рис. 3). Пусть у0,у1,...,уn—надлежащие им ординаты графика функции.

Рис. 3. Способ Формула центральных прямоугольников трапеций

Расчетные формулы для этих значений имеют вид хi= a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2,..., n.

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yiи yi+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обыденных трапеций с основаниями уi, yi+1 и высотой Формула центральных прямоугольников

либо

(5)

Формула (5) именуется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность Rn приближения, приобретенного по формуле трапеций, оценивается при помощи формулы • М2,

где

Опять для линейной функции у=kх +b формула (5) — четкая.


formulirovka-kategoricheskogo-imperativa-i-kanta.html
formulirovka-ponyatij-polzuchest-relaksaciya-usadka.html
formulirovka-problemi-temi-obekta-i-predmeta-vipusknoj-kvalifikacionnoj-raboti.html